در بسياري از فرآيندهاي صنعتي از كنترل كننده تناسبي ‪ P‬ يا تناسبي مشتق گير ‪ ،PD‬تناسبي‬‫انتگرال گير ‪ PI‬ و يا كنترل كننده تناسبي– مشتق گير– انتگرال گير ‪ ،PID‬به عنوان ساختار‬‫اصلي كنترل كننده استفاده مي شود.‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬ ‫هدف از استفاده از حلقه فيدبك و كنترل كننده را می توان بصورت زير خلاصه کرد:

• ‫پايداري داخلي‬ ‫
  

• دنباله روي از فرمان ورودي (‪(tracking‬‬ ‫
  

• تضعيف اغتشاش‬
  

• ‫كاهش نويز‬ ‫
  

• عدم حساسيت به تغييرات فرآيند‬ ‫
  

جالب است كه تقريبا در كليه فرآيندهاي صنعتي ساختار ساده كنترل كننده ‪ PID‬ تمام‬‫نيازهاي فوق را برآورده مي سازد. حتي در برخي از موارد كنترل كننده ‪ PI‬ نيز كافي است. در‬‫حالت كلي مي توان بيان کرد که كنترل كننده ‪ PI‬ براي فرآيندهايي كه براي سيستمهايي که با‬‫مدل درجه يک تقريب زده مي شوند، كافي است. ‫در برخي موارد كنترل كننده ‪ PID‬ كافي نمي باشد. اين موارد را مي توان به صورت زير خلاصه‬‫ نمود :‬

• ‫فرآيندهاي با ديناميك رتبه بالاتر از دو‬
  

• ‫سيستمهاي با تأخير زياد‬ ‫
  

• سيستمهاي داراي صفر ناپايدار يا سيستمهاي غير مينيمم فاز‬
  

• ‫حذف فركانسهاي خاص در خروجي (فيلتر ناچ ‪(Notch filter‬‬
  

در این مقاله ساختار یک کنترل کننده PID و اثر هر یک از پارامترهای آن بر پاسخ خروجی بررسی می شود. فرآيند كنترل شده مطابق مدار حلقه بسته زير را در نظر بگيريد:‬

‬ ‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬

خروجی کنترل کننده PID بصورت زیر می باشد:

‫متغییر e که نشان دهنده خطای ردیابی است، تفاوت میان مقدار خواسته شده (r) و مقدار واقعی خروجی(y) می باشد.سیگنال خطا وارد کنترل کننده می شود و مقدار مشتق و انتگرال آن محاسبه می شود و سپس سیگنال کنترلی u با ضریبی از سیگنال خطا (kp)،ضریبی از انتگرال خطا (ki)و ضریبی از مشتق خطا (kd) محاسبه می شود. كنترل كننده ‪ PID‬ از جمع‬ ‫سه ترم تشكيل شده است:

• ‫ترم تناسبي ‪ : P‬كه فرمان كنترل متناسب با ميزان خطا و با بهره ‪ kp‬تقويت مي شود.‬
• ‫ترم مشتق گير ‪ : D‬كه فرمان كنترل متناسب با نرخ تغييرات خطا و با بهره ‪ kd‬تقويت مي شود.‬
• ترم انتگرال گير ‪ : I‬فرمان كنترل متناسب با ‬‫انتگرال اين تابع و با بهره ‪ ki‬تقويت مي شود.‬

تابع انتقال کنترل کننده PID بصورت زیر می باشد:

‫

در نرم افزار Matlab تابع انتقال کنترل کننده را می توان  بصورت مستقیم تعریف کرد:

Kp = 1;
Ki = 1;
Kd = 1;

s = tf('s');
C = Kp + Ki/s + Kd*s

همچنین می توان از دستورpid نیز استفاده کرد:

C = pid(Kp,Ki,Kd)

حال اجازه دهيد تاثیر هريك از اين پارامترها را بر پاسخ سیستم توضيح دهیم.‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬ بهره تناسبی (kp) باعث کاهش زمان rise time شده ولی خطای دائم را از بین نمی برد. بهره انتگرال گیر (ki) خطای دائم را به ازای ورودی پله از بین می برد ولی باعث کند شدن پاسخ سیستم می شود. بهره مشتق گیر (kd) باعث کم شدن overshoot ، افزایش پایداری و همچنین سریعتر شدن پاسخ سیستم می شود. تاثیر هریک از پارامترهای کنترل کننده را بصورت خلاصه در جدول زیر می توان مشاهده کرد:

مثال: فرض کنید تابع انتقالی بصورت زیر داشته باشیم:

با دستور زیر پاسخ حلقه باز سیستم را به ورودی پله رسم می کنیم:

s = tf('s');
P = 1/(s^2 + 10*s + 20);
step(P)

همان طور که مشخص است، خطای حالت دائم 0.95 و همچنین سیستم بسیار کند است.

کنترل کننده تناسبی:

همان طور که جدول بالا نشان می دهد، ترم تناسبی باعث کاهش rise time، افزایش overshoot و کاهش خطای حالت دائم می شود.تابع انتقال حلقه بسته سیستم بالا با ترم تناسبی بصورت زیر است:

با قرار دادن ترم تناسبی برابر 300 با دستور زیر پاسخ حلقه بسته سیستم را به ورودی پله رسم می کنیم:

Kp = 300;
C = pid(Kp)
T = feedback(C*P,1)

t = 0:0.01:2;
step(T,t)

همان طور که شکل بالا نشان می دهد، ترم تناسبی باعث کاهش rise time، افزایش overshoot و کاهش خطای حالت دائم شده است.

کنترل کننده تناسبی- مشتق گیر:

حال بیایید نگاهی به کنترل کننده PD بیاندازیم.همان طور که دیدیم ترم مشتق گیر باعث کاهش overshoot و همچنین settling time می شود. تابع انتقال حلقه بسته سیستم بالا با ترم PD بصورت زیر است:

با قرار دادن ترم تناسبی برابر 300 و ترم مشتق گیر برابر 10 با دستور زیر پاسخ حلقه بسته سیستم را به ورودی پله رسم می کنیم:

Kp = 300;
Kd = 10;
C = pid(Kp,0,Kd)
T = feedback(C*P,1)

t = 0:0.01:2;
step(T,t)

همان طور که مشخص است ترم مشتق گیر باعث کاهش overshoot و همچنین settling time شده است و همچنین تاثیر کمی بر rise time و خطای حالت دائم داشته است.

کنترل کننده تناسبی-انتگرال گیر- مشتق گیر:

تابع انتقال حلقه بسته سیستم بالا با ترم PID بصورت زیر است:

بعد از چند بار سعی و خطا مقادیر زیر برای پاسخ مناسب در نظر گرفته شد:

Kp = 350;
Ki = 300;
Kd = 50;
C = pid(Kp,Ki,Kd)
T = feedback(C*P,1);

t = 0:0.01:2;
step(T,t)

همان طور که مشخص است پاسخ هیچ overshoot و خطای حالت دائمی ندارد و همچنین دارای rise time سریعی می باشد. نرم افزار Matlab دارای ابزاری بنام pidtool می باشد که خیلی راحت می توان یک کنترل کننده PID را بصورت گرافیکی تنظیم کرد.با دستور زیر که پارامتر اول آن تابع انتقال سیستم و پارامتر دوم نوع کنترل کننده را مشخص می کند،می توان وارد محیط PID Tuner شد:

pidtool(P,C)

1)در این قسمت نوع طراحی مشخص می شود(براساس زمان پاسخ یا بر اساس پهنای باند و…)

2)در این قسمت نوع کنترل کننده مشخص می شود.

3)در این قسمت نمایش پاسخ در محدوده زمان یا در محدوده فرکانس(Bode) مشخص می شود.

4)در این قسمت منحنی انتخاب می شود.

5)در این قسمت مقادیر پارامترهای کنترل کننده مشخص می شود.

6)در این قسمت مشخصات پاسخ دیده می شود.(مقدار overshoot،rise time و…)